Kunci Jawaban SOAL Matematika Kelas 11 SMA SMK MA Halaman 24 Uji Kompetensi 1.2, Induksi Matematika. Pada buku Matematika Kelas 11 halaman 24 memuat soal Uji Kompetensi 1.2. Sebelum menengok kunci jawaban Matematika kelas 11 halaman 24 diharapkan siswa mengerjakan soal secara mandiri.
Kunci jawaban Matematika kelas 11 halaman 24. Memuat tugas Uji Kompetensi 1.2 yang berisi soal menghitung dengan menggunakan induksi Matematika. Berikut kunci jawaban Matematika kelas 11 halaman 24.
Kunci Jawaban SOAL Matematika Kelas 11 SMA SMK MA Halaman 24 Uji Kompetensi 1.2, Induksi Matematika
Soal pada Uji Kompetensi 1.2 pada buku Matematika kelas 11 halaman 24 masuk dalam bab 1 yang membahas terkait Induksi Matematika. Kunci jawaban Matematika kelas 11 ini diperuntukkan bagi orang tua untuk memandu proses belajar anak.
Jawaban:
1. a. Dalam bilangan asli terdapat paling sedikit satu bilangan prima p hingga n =p.k > p < p.k +6
Pernyataan pada soal tersebut terbukti salah, seharusnya n > p < n + 6
b. a2 + b2 = c2 + d2
(a – b)2 + 2ab = (c – d)2 + 2cd
terlihat kesamaan bahwa
(a – b) = (c – d)
atau
2ab = 2cd
a = d dan b = c
(komutatif perkalian)
Terbukti
2. a. 5, 13, 21, 29, 37, 45, ….
Angka di atas merupakan barisan aritmatika karena perbedaan antar dua sukunya tetap yakni selalu bertambah 8
a = 5
b = 13 – 5 = 8
Rumus suku ke n:
Un = a + (n-1)b
Un = 5 + (n-1)8
Un = 5 + 8n-8
Un = 8n – 3
Kunci Jawaban SOAL Matematika Kelas 11 SMA SMK MA Halaman 24 Uji Kompetensi 1.2, Induksi Matematika
b. 6, 15, 30, 51, 78, 111, 9, 15, 21, 27, 33, 6, 6, 6, 6
a = 6, b = 9, c = 6
Un = a + b(n-1) + c(n-1)(n-2)/2
Un = 6 + 9(n-1) + 6(n-1)(n-2)/2
Un = 6 + 9n-( + 3(n-1)(n-2)
Un = 9n – 3 + 3(n2 – 3n +2)
Un = 3n2 + 3
c. 0, 6, 16, 30, 48, 70
+ 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 4 + 4 + 4
2a = 4
a = 2
3a + b = 6
6 + b = 6
b = 0
2 + b + c = 0
2 + 0 + c = 0
c = -2
Un = an2 + bn + c
Un = 2n2 + (0)n – 2
Un = 2n2 – 2
Un = 2(n2 – 1)
d. -2, 1, 6, 13, 22, 33, …
Angka di atas merupakan barisan aritmatika bertingkat karena beda antar dua sukunya tidak tetap
Cara:
2a = 2
a = 1
3a + b = 3
3(1) + b = 3
b = 0
a + b + c = -2
1 + 0 + c = -2
c = -3
Jadi rumus suku ke n:
Un = an2 + bn c
Un = 1n2 + 0n + (-3)
Un = n2 – 3
e. -1, 8, 23, 44, 71, 104, …
a = -1, b = 9, c = 6
Un = a + (n-1)b + c/2(n-1)(n-2)
Un = -1 + (n-1)0 + 6/2 (n2-3n+2)
Un -1 + 9n – 9 + 3n2 – 9n + 6
Un = 3n2 – 10 + 6
un = 3n2 – 4
3. a. 32 + 42 = 52
3×3 + 4×4 = 5×5
9 + 16 = 25
25 = 25
Pernyataan ini benar.
33 + 43 + 53 = 63
3x3x3 + 4x4x4 = 5x5x5 = 6x6x6
27 + 64 + 125 = 216
216 = 216
Kunci Jawaban SOAL Matematika Kelas 11 SMA SMK MA Halaman 24 Uji Kompetensi 1.2, Induksi Matematika
b. P(n) = n2 + 21n + 1 adalah bilangan prima
P(1) = 12 +21.1 + 1
= 1 + 21 + 1 = 23 merupakan bilangan prima.
Maka pernyataan benar.
4. Awal:
n = 1, maka P(1) = 8.1 – 3 = 5, P(1) benar
n = 2, maka P(2) = 8.2 – 3 = 13, P(2) benar
Induksi:
Karena P(1) dan P(2) benar, maka untuk n = k, yaitu P(k) = 8k – 3 juga dikatakan benar untuk k bilangan asli.
Akan ditunjukkan bahwa n = k +1, yaitu P(k+1) = 8(k+1) – 3 untuk setiap k bilangan asli adalah suatu pernyataan yang benar.
Maka diperoleh:
P(k + 1) = 5, 13, 21, 29, 37, 45, …. , 8k – 3, 8k +5
P(k + 1) = 8k+ 5
P(k + 1) = 8k + 8 -3
P(k + 1) = 8(k + 1) – 3
Jadi P(k + 1) = 8(k + 1) -3 = 8k + 5 tebukti benar untuk setiap k bilangan asli.
Karena dua peinsip induksi matematika terpenuhi maka disimpulkan bahwa formula pola barisan 5, 13, 21, 29, 37, 45, …, 8n -3, benar untuk setiap n bilangan asli.
5. – Apabila n = 1
(ab)^1 = a^1.b^1 (benar)
– Apabila n = k
(ab)^k = a^k.b^k (benar)
– Apabila n = k + 1
(ab)^k+1 = a^k + 1.b^k+1
= (a^k.a^1)(b^k.b^1)
= (a^k.b^k)(a^1.b^1)
Tampak (a^k.b^k) merupakan asumsi dari nomor 2 dan (a^1.b^k) adalah asumsi dari nomor 1 yang benar.
Kunci Jawaban SOAL Matematika Kelas 11 SMA SMK MA Halaman 24 Uji Kompetensi 1.2, Induksi Matematika
6. Bagian kiri ditulis :
n+ (n+1)
k(k+1) + (k+1)(k+2)
Subtitusi k(k+1)
k(k+1)(k+2)/3 + (k+1)(k+2)
( (k2+k)(k+2) + 3(k2+3k+2) )/3
(k3 + 3k2 + 2k + 3k2 + 9k +6 )/3
(k3 + 6k2 + 11k +6)/3
Bagian Kanan
misalkan n = k+1
n(n+1)(n+2)/3
(k+1)(k+2)(k43)/3
(k2 + 3k + 2)(k+3)/3
(k3 + 3k2 + 3k2 + 9k + 2k +6)/3
(k3 + 6k2 + 11k +6 )/3
Sehingga untuk bisa disimpukan
(k3 + 6k2 + 11k + 6 )/3 = (k3 + 6K2 + 11k +6 )/3
Hasilnya sama, maka P(n) Terbukti Benar
7. Pembuktian untuk (n + 1)
(n+1)^5 – (n+1) = (n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 10n+1) – (n+1)
=n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 10n +1 -n-1
= n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 9n
= (N^5 -n) + (5n^4 + 10^3 + 10n^2 + 10n)
= (n^5 -n) + 5(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n)
Jika n^5 – n habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan bukat positif.
Karena persen(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n) habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan positif, maka terbukti bahwa (n+1)^5 – (n+1) habis dibagi 5.
Kunci Jawaban SOAL Matematika Kelas 11 SMA SMK MA Halaman 24 Uji Kompetensi 1.2, Induksi Matematika
8. Untuk n = 1 maka bentuk menjadi
1^3+3.1^2+2.1 = 1 + 3 +2 = 6
Sehingga benar bahwa 3 adalah satu faktor dari bentuk tersebut.
Maka menjadi
(k+1)63 + 3(k+1)^2 + 2(k+1)
= k^3 + 3k^2 + 3k + 3K^2 + 6k + 3 + 2k + 2
= (k^3 + 3k^2 + 2k) + (3k^2 + 9k + 6)
= (K^3 + 3k^2 + 2k) + 3(k^2 + 3k + 2)
Karena 3 adalah faktor k^2+3k^2+2k dan 3(k^2+3k+2) maka 3 adalah faktor dari (k+1)^2 + 3(k+1)^2 + 2(k+1)
Jadi dengan menggunakan induksi matematika disimpulkan bahwa 3 adalah salah satu faktor dari (n+1)*2 + 3(n+1)42 + 2(n+1) untuk semua bilangan bulat positif n.
9. Jika n = 1 maka
2^2n-1 + 3^2-1 =5
2^2(1)-1 + 3^2(1) – 1 = 5
2+3 = 5
Sehingga, benar bahwa 5 merupakan salah satu faktor dari 2^n-1 + 3^2n-1.
Langkah 2: Anggap bahwa n = k benar, gunakan untuk membuktikan bahwa n = k + 1
benar (langkah induksi)
Untuk n = k bentuk di atas menjadi
2^2k-1 + 3^2K-1 = 2^(2(k)-1) + 3^(2(k)-1)
Untuk n = k + 1 bentuk di atas menjadi
2^2-1 + 3^2-1 = 2^2(k+1)-1 + 3^2(k+1)-1 = 2^(2k+1) + 3^(2k+1)
2^(2(k)-1) + 3^(2(k)-1) = 2^(2k+1) + 3^(2k^1)
Maka
2^(2k+1) + 3^(2k+1) = 2^(2(k+1)-1) + 3^(2(k+1)-1) jadi terbukti.
Kunci Jawaban SOAL Matematika Kelas 11 SMA SMK MA Halaman 24 Uji Kompetensi 1.2, Induksi Matematika
10. Dengan induksi matematika, akan dibuktikan bahwa 41n – 14n adalah kelipatan 27
Untuk n = 1
411 – 141 = 41 – 14 = 27 adalah kelipatan 27 (BENAR)
Misal untuk n = x benar
41x – 14x adalah kelipatan 27
Akan dibuktikan untuk n = (x + 1) juga benar
41x – 14x+1
= 41x . 411 – 14x .141
= 41x . (27 +14)- 14x.14
= 27. 41x + 14 . 41x – 14 . 14x
= 27. 41x +14 (41x-14x)
27 . 41x adalah kelipatan 27 (sudah jelas)
14 (41x – 14x) adalah kelipatan 27 (berdasarkan n = x)
Jadi 27. 41x = + 14 (41x – 14)x adalah kelipatan 27 juga, maka terbukti.
*) Disclaimer:
– Artikel ini hanya ditujukan kepada orangtua untuk memandu proses belajar anak.
– Sebelum melihat kunci jawaban, siswa harus terlebih dahulu menjawabnya sendiri, setelah itu gunakan artikel ini untuk mengoreksi hasil pekerjaan siswa.
Kunci Jawaban SOAL Matematika Kelas 11 SMA SMK MA Halaman 24 Uji Kompetensi 1.2, Induksi Matematika
Sumber :
- https://buku.kemdikbud.go.id
- https://banksoal.belajar.kemdikbud.go.id
- https://repositori.kemdikbud.go.id
- https://kunci-jawaban.id
- www.tribunnews.com